四次元に関する考察

現実世界が三次元か四次元かという考察を進めているうちに、四次元を脳ミソの中で組み立ててみたいという欲求が大変高まってきました。

三次元の世界は、透視変換することで二次元に投影することが出来ます。

• 透視変換
  1. 視点座標系への変換
     • 3D (X, Y, Z) -> 3D (Xv, Yv, Zv)
     • CGの世界で言うビューポート座標系への変換というヤツです
     • 要するに、目から見た座標に置き換える、ということを行います
  2. 射影座標系への変換
     • 3D (Xv, Yv, Zv) -> 2D (Xs, Ys)
     • スクリーン座標系への変換です
     • 目から見たものを、平面のスクリーンに投影します

透視変換は、要するに写真を撮るみたいなコトです。写真は「三次元の影」と捉えることが出来ると思います。ということは、四次元の世界は、四次元→三次元への透視変換することで三次元に投影、つまり「四次元の影」を作ることが出来るのではないでしょうか。

1. 視点座標系への変換
   • 4D (X, Y, Z, W) -> 4D (Xv, Yv, Zv, Wv)
2. 三次元射影座標系(?)への変換
   • 4D (Xv, Yv, Zv, Wv) -> 3D (Xs, Ys, Zs)

そして、こうして三次元空間に投影された四次元の立体影は更に透視変換して二次元でも表現出来ると思います。基本形態として「正方形」を拡張する形で考察していきましょう。

• 二次元、つまり平面上では、当たり前ですが正方形は「４頂点」で構成されます。
  • (0,0),(0,1),(1,1),(1,0)
• 三次元、つまり空間上で正方形を拡張すると、３次元立体、つまり「立方体」となります。これは「８頂点」で構成されます。
  • (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(1,0,1)
• ということは、四次元の空間上で立方体を拡張すると、それは「１６頂点」で構成されることになるでしょう。
  • (0,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,1,1,0),(1,1,1,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,0,1),(1,1,0,1),(1,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,1),(1,0,1,1)

こうやって考察を進めると、今までねじくれた空間をイメージしていた四次元空間が、何となく素直で普通の空間である気がしてきます。

是非、四次元の投影は考察を続けたいと思います。

（つづく）